Алгебра 9 класс.

Тема:  Числовые последовательности.

 Числовые последовательности. Способы задания последовательностей.

Последовательностью называют функцию, заданную на множестве всех или первых н- натуральных чисел.

Способы задания последовательностей:

1.     Описанием;  2. Перечислением его членов; 3. Таблицей; 4. Формулой;

5. Рекуррентным способом.

Учебник п.21 Прочитать, выучить определения, разобрать примеры.

Выполнить: Устно № 648 – 651; Письменно №652; 654; 656;659; 663;665; 667; 669.            

 Арифметическая прогрессия, ее свойства. Формула н-го члена арифметической прогрессии.

. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему  члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

d=an+1- an          d >0- прогрессия возростающая;                                                      

                      d<0- прогрессия убывающая;

а_n = а₁ + (n – 1) d - формула n-ого члена арифметической прогрессии. 

Файл №4

а_n = а₁ + (n – 1) d - формула n-ого члена арифметической прогрессии, где

а1-первый член последовательности;

п- порядковый номер п-го члена арифметической прогрессии;

d- разность арифметической прогрессии.

Свойства:

1.Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим двух соседних с ним членов.    ап =( ап-1 + ап):2

2. Сумма любых двух членов конечной арифметической прогрессии, равноотстоящих от ее крайних членов, равна сумме крайних членов этой прогрессии.   а1+ап=а2+а(п-1)= а3+а(п-2)=…

 Прочитать по учебнику п.23 выучить формулы, разобрать упражнения. Выполнить: Устно № 705;706;  Письменно №707;708;710;712;714;718;719;721;

 Формула суммы п-первых членов арифметической прогрессии.

Формулы суммы первых п членов арифметической прогрессии:

1.     Sn =( ( a1 + an )  . n): 2;                 2.  Sn =( (2a1+(n-1)d n) : 2,

где  а1- первый член арифметической прогрессии;

         ап – п-ый член арифметической прогрессии;

         d -   разность арифметической прогрессии;

         п – порядковый номер арифметической прогрессии.

Прочитать п.№ 24, выучить формулы суммы п- первых членов арифметической прогрессии, разобрать упражнения № 1; 2; 3; 4; 5.                                                                      

Выполнить: № 730; 732; 734; 736; 739; 740; 741; 744; 747; 749.

Самостоятельная работа по теме « Арифметическая прогрессия»

1.Укажите первый член и разность арифметической прогрессии:

          Вариант 1                                                                            Вариант 2

        3; 8; 13;…                                                                                     3;7;11; …

                                 А)3;4   Б)3; 10     В) 13;   Г)3; 5

2. Найдите второй член арифметической прогрессии:

        3;  а2;  7;…                                                                        5;  а2;  7; …

                            А)4      Б) 5    В)  6    Г) 2

3. Найдите одиннадцатый член арифметической прогрессии:

          2; 5; 8;…                                                                      3; 5; 7 ;…

                              А) 35   Б)25;   В) 23   Г) 32

4. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии:

          ап=3п + 2                                                                ап=4п – 1

5. Является ли членом арифметической прогрессии -3; -8; -13; … число

                 -160                                                                       -153

6. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые

                 кратны 6 и меньше 250                        кратны 8 и меньше 220

                           Геометрическая прогрессия и ее свойства.

Геометрической прогрессией называют последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

буквой – q     , , 

Число , q  называют знаменателем данной геометрической прогрессии.

§  Если q > 0 все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком числа b.

§  Если q < 0 знаки членов геометрической прогрессии чередуются.

§  В случае -1 < q < 1 прогрессию называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

                             b_n+1 =b_n · q, где b_n ≠ 0, q ≠ 0  q – знаменатель прогрессии

Геометрическая прогрессия  является возрастающей, если b₁ > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81,....

Геометрическая прогрессия  является убывающей, если

b₁ > 0, 0 < q < 1 

Формула n-го члена геометрической прогрессии

b_n = b₁ · q ^n-1

b_n-п-ый член геометрической прогрессии;  b_1 – первый член_;  · q-знаменатель;

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого  (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.      b_n² = b_n-1 · b _n+1

Свойства геометрической прогрессии: 1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него: bn2 = bn-1 · bn+1 2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией: Пример: Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат: 542 = 2916. Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54: 18 · 162 = 2916. Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов. Прочитать п.25 выучить определения, рассмотреть упражнения № 1;2;3  Выполнить устно № 762-766, письменно №768, 769.770.773,776,778,780  Формула н-го члена геометрической прогрессии. Как найти определенный член геометрической прогрессии. Чтобы найти n-й член геометрической прогрессии, следует применить формулу: bn = b1 · qn – 1 Пример 1: Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии. Дано: b1 = 2 q = 1,5 n = 4 ———— b4 - ? Решение. Применяем формулу bn = b1 · qn – 1, вставляя в нее соответствующие значения: b4 = 2 · 1,54 – 1 = 2 · 1,53 = 2 · 3,375 = 6,75. Ответ: Четвертый член заданной геометрической прогрессии – число 6,75. Пример 2: Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192. Дано: b1 = 12 b3 = 192 ———— b5 - ? Решение. 1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b3: b3 = b1 · q3 – 1 = b1 · q2 Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:            b3       192 q2 = —— = —— = 16            b1        12 q = √16 = 4 или –4. 2) Осталось найти значение b5. Если q = 4, то b5 = b1q5-1 = 12 · 44 = 12 · 256 = 3072. При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение. Ответ: Пятый член заданной геометрической прогрессии – это число 3072. Прочитать п.26 выучить определения, рассмотреть упражнения № 1;2;3  Выполнить  письменно № 788, 790,792, 793, 798,799. Формула суммы первых п членов геометрической прогрессии При q ≠ 1 сумму любого количества первых членов геометрической прогрессии можно найти с помощью одной из следующих формул:                                                      bnq – b1                                                                   Sn = ————                                                         q – 1                                                                             b1 (qn – 1)                                                                    Sn = —————                                                                                 q – 1 Если q = 1, то все члены прогрессии просто равны первому члену:                                                                               Sn = nb1 Пример: Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3. Дано: b1 = 2 q = 3 n = 5 ———— S5 – ? Решение. Применяем вторую формулу из двух приведенных выше:           b1 (q5 – 1)        2 (35 – 1)             2 · (243 – 1)                  484 S5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242               q – 1                3 – 1                        2                              2 Ответ: Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое – только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю. Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии. Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии. Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1. Пример-пояснение: Составим геометрическую прогрессию, в которой первый член – число 2, а знаменатель равен 1/2: 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 и т.д. Сложим все полученные члены прогрессии: 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 255/64 ≈ 3,98 ≈ 4. Можно продолжить прогрессию до 10, 100, миллиона членов, но во всех случаях сумма членов прогрессии будет практически равна 4. Число 4 и является суммой данной геометрической прогрессии. Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, не надо складывать все ее члены. Для этого существует замечательная и довольно простая формула. Сумма S геометрической прогрессии вычисляется по формуле:                                                                                    b1                                                                        S = ————                                                                                  1 – q b1 – первый член геометрической прогрессии; q – знаменатель прогрессии; |q| < 1. Решим наш пример с помощью этой формулы. В нем b1 = 2, q = 1/2. Итак:                2                    2 S  =  ————  =  ———— = 4.           1 – 1/2              0,5

www.zvuk.a5.ru

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q| < 1. Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма  первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа 

Прочитать п. 27,28 выучить формулы, разобрать примеры № 1,2. Выполнить письменно № 810,812,814,816,826,828,830.832,835.  Самостоятельная работа по теме « Геометрическая прогрессия» 1.     Укажите знаменатель геометрической прогрессии:   Вариант 1                                                                        Вариант 2                 А) 0,1;   Б) 0,2;   В) 0,4;   Г) 0,5;     2. Найдите второй член геометрической прогрессии:                   25;  в2;  49;…                                                                 9;  в2;  16;…                             А) 24;   Б) 35;   В) 7;   Г) 12;    3. Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если;                         в1= 2;    q = 0,5                                                   в1= 9;     q= 1/3                            А) 1/4 ;     Б)3;       В) 1/3 ;        Г) 4;  4.Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если                        в6= 96;  в9 =768                                                            в4 = 54;  в7 =1458  5. Найдите сумму членов геометрической прогрессии, если:                   вп = 384 ; q = 2   n=8                                             вn=486    q=3     n=6 6. Найдите пятый член геометрической прогрессии, если                     В2 + в3 = 30                                                                   в4 – в2 = 30                        В4 – В2 =90                                                         в4 – в3 =24 Контрольная работа по теме « Числовые последовательности» 1.      Дана последовательность кубов натуральных чисел. Какой номер у члена последовательности, равного               Вариант 1                                                              Вариант  2                                8?                                                                              27? 2.     Последовательность задана формулой ап=2п + 5. Найти:                      а15                                                                                            а20 3.Какая из данных последовательностей является       Геометрической прогрессией?                     Арифметической прогрессией?             А) 6;8;12;18           Б) 2;4;8;16                  В) 3;6;24;192;                       Г) 4;6;8;10 4. Найти девятый член арифметической прогрессии:                   -4; 1; 6;…                                                                       -5; -3; -1;…                                          A ) -21                    Б) 11        В)36        Г)-44                   5.  Найти третий член геометрической прогрессии:                       В1 = 5   q = 3                                                         b1 =5   q= 4                                 А) 80           Б) 30           В) 40           Г)45 6. Чему равна сумма первых шести членов арифметической прогрессии, если                 а1 = 20;  а6  = 15                                              а1 = 40;     а6 = 5                                                             А)105       Б) 210      В) 270       Г) 135 7. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии                 а6 = 1,   а9 = 2,8                                                  а5 =-0,8     а11 = -5 8. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если           в4 = 6     в9 = 192                                             в3 = 12,   в6 = 324 9. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии            -6,2; -5,9; -5,6;…                                              -5,2; -4,8; -4,4;…

·         Арифметика

·         Алгебра

·         Основы линейной алгебры

·         Линейное программирование

·         Математический анализ

·         Тригонометрия

·         Математические методы в экономике

·         Теория вероятностей

·         Эконометрика